% Referat in Sopron 1997
\documentclass[12pt,a4paper,epsfig,bezier]{article}
\usepackage[english,russian]{babel}                             
\usepackage[koi8-r]{inputenc}                                              
\usepackage{amssymb,amsmath,graphicx}

\textwidth15.6cm
\textheight24.5cm
\voffset-3cm
\markboth{}{}
\oddsidemargin0cm \evensidemargin0cm
\begin{document}

{\Large \bf Простая иллюстрация для соотношений Крамерса-Кронига.}

Рассмотрим электрическую схему, состоящую из 
конденсатора $C$, сопротивления $R$ и катушки $L$, подключенных последовательно 
к батарее с напряжением $\varepsilon$. Обозначим ток в цепи $I$, заряд конденсатора $q$, очевидно, $\dot{q}=I$.

Закон Ома 
$$IR+\frac{q}{C}+L\dot{I} =\varepsilon. $$
При гармонической зависимости напряжения от времени $\varepsilon=
\varepsilon_\omega e^{-i\omega t}$ ток и заряд также имеют аналогичный вид, а закон Ома записывается в виде
\begin{equation}
\label{Om}
I_\omega\left(R-\frac{1}{i\omega C}-i\omega L \right)=\varepsilon_\omega.
\end{equation}
Мощность диссипации в системе определяется законом Джоуля-Ленца 
\begin{equation}
\label{J-L}
W=I\varepsilon.
\end{equation}

Чтобы привести систему в соответствие с обозначениями теории линейного отклика, сопоставим эту мощность со средней по ансамблю (в момент $t$) от производной гамильтониана системы
$$W=\left< \frac{d}{dt}\hat{H}\right>^t.$$
 Зависящий от времени гамильтониан системы следует представить в виде 
$\hat{H}=\hat{X}f(t)$, где $\hat{X}$ определяет вид зависимости $\hat{H}$ от динамических переменных, а $f(t)$ - одинаковая для всех пространственных точек системы внешняя сила. Тогда выделяющееся в единицу времени тепло имеет вид 
\begin{equation}
\label{otkl}
W=-X\frac{df}{dt},
\end{equation}
где $<\hat{X}>^t=X(t).$ Давайте в качестве динамических переменных системы рассматривать импульсы электронов, учавствующих в создании тока. Тогда величина  $I$ в (\ref{J-L}) является cредней по ансамблю величиной от некоторой $\hat{I}$, которая зависит только от динамических переменных.
Если $X\equiv I$, то для внешней силы (она, конечно, также гармоническая, 
$f\equiv f_\omega e^{-i\omega t}$) из сопоставления (\ref{J-L}) и (\ref{otkl}) имеем 
$$\varepsilon=-\frac{df}{dt},\qquad   \varepsilon_\omega=i\omega f_\omega.$$
Итак, в терминах теории линейного отклика закон Ома эквивалентен соотношению
$$X\left( R-i\Bigg[\omega L-\frac{1}{\omega C}\Bigg] \right)=
i\omega f_\omega.$$
Коэффициент пропорциональности в частотном представлении между 
релаксирующей величиной (в данном случае, $X$) и вынужающей силой называется обобщенной восприимчивостью. В нашем случае она равна 
\begin{equation}
\label{vospr}
\alpha(\omega)=\frac{i\omega}{\displaystyle{R-i\Bigg[\omega L-
\frac{1}{\omega C}\Bigg]}}=i\omega 
\frac{\displaystyle{ R+i\Bigg[ \omega L-\frac{1}{\omega C}\Bigg]}}
{\displaystyle{R^2+\Bigg[\omega L-\frac{1}{\omega C}\Bigg]^2}}.
\end{equation}

Соотношения Кармерса-Кронига связывают вещественную и мнимую части обобщенной восприимчивости. Проверим, без ограничения общности, соотношение Крамерса-Кронига при $C=\infty$ (для простоты). Формулы для произвольной емкости получаются заменой $L\to L-1/(\omega^2C)$.
В этом  случае (\ref{vospr}) имеет простой вид
$$\alpha(\omega)=
\frac{i\omega}{R-i\omega L}.$$ 
Соотношения Крамерса-Кронига справедливо для $\alpha(\omega)-\alpha(\infty)$.
В нашем случае $\alpha(\infty)=-1/L$, поэтому
$$\alpha(\omega)-\alpha(\infty)=\frac{i\omega}{R-i\omega L}+\frac{1}{L}=
\frac{i\omega L+R-i\omega L}{L(R-i\omega L)}=
\frac{R(R+i\omega L)}{L(R^2+\omega^2 L^2)}=\alpha '+i\alpha '',$$
\begin{equation}
\label{compl}
\alpha '(\omega)=\frac{R^2}{L(R^2+\omega^2 L^2)},\hskip 1cm 
\alpha ''(\omega)=\frac{\omega R}{R^2+\omega^2 L^2} 
\end{equation}

Проверим соотношение Крамерса-Кронига, имеющее вид
$$\alpha ''(\omega_0)=-\frac{1}{\pi}\int_{\gamma}
\frac{\alpha '(\omega)}{\omega-\omega_0}d\omega.$$
Здесь через $\int_{\gamma}...$ обозначен интеграл в смысле главного значения, взятый на промежутке $(-\infty,\infty)$. Подставляя под знак интеграла первое из равенств (\ref{compl}), получим
$$\alpha ''(\omega_0)=-\frac{1}{\pi}\frac{R^2}{L^3}\int_{\gamma}
\frac{d\omega}{(\omega-\omega_0)(\omega +i\frac{R}{L})
(\omega -i\frac{R}{L})}=-\frac{1}{\pi}\frac{R^2}{L^3}\cdot
\frac{2\pi i}{\displaystyle{2i\frac{R}{L}\Bigg[i\frac{R}{L}-\omega_0\Bigg]}}
-\frac{1}{\pi}\frac{R^2}{L^3}\cdot\frac{\pi i}
{\displaystyle{\omega_0^2+\frac{R^2}{L^2}}}$$
Интеграл здесь взят по вычетам:
 мы замкнули контур интегрирования по большой полуокружности в верхней полуплоскости, воспользовавшись одновременно формулой Сохоцкого. 
Первое слагаемое в последнем равенстве соответствует 
умноженной на $2\pi i$ сумме вычетов подынтегрального выражения, 
попавших внутрь контура интегрирования. Второе слагаемое соответствует 
вкладу дельта-функции из формулы Сохоцкого. Дальнейшие преобразования
$$\alpha ''(\omega_0)==\frac{R^2}{L^3}\cdot
\frac{L}{\displaystyle{R(\omega_0-i\frac{R}{L})}}
-\frac{R^2}{L^3}\cdot\frac{i}
{\displaystyle{\omega_0^2+\frac{R^2}{L^2}}}=\frac{R^2}{L^3}\cdot
\frac{L}{R}\cdot\frac{\displaystyle{\omega_0+i\frac{R}{L}}}
{\displaystyle{\omega_0^2+\frac{R^2}{L^2}}}
-\frac{R^2}{L^3}\cdot\frac{i}
{\displaystyle{\omega_0^2+\frac{R^2}{L^2}}}$$
позволяют найти
$$\alpha ''(\omega_0)=-\frac{R^2}{L^3}\cdot\frac{1}
{\displaystyle{\omega_0^2+\frac{R^2}{L^2}}}\cdot\Bigg[-\frac{\omega_0 L}{R}
-i+i\Bigg]=\frac{\omega_0 R}{R^2+\omega_0^2 L^2},$$
что совпадает со вторым равенством из (\ref{compl}). Таким образом, соотношение действительно выполняется.







\end{document}
